السؤال: أوجد إحداثيات الرأس الرابع لهرم رباعي منتظم إذا كانت ثلاثة من رؤوسه تقع في النقاط $(0,0,0)$ و $(a,a,0)$ و $(0,a,a)$، حيث $a$ عدد صحيح موجب، وجميع الإحداثيات أعداد صحيحة.

["أوجد إحداثيات الرأس الرابع لهرم رباعي منتظم: تحليل هندسي باستخدام الإحداثيات الصحيحة", "### مقدمة", "الهرم الرباعي المنتظم هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد جميل يتميز بقاعدته المربعة وأطرافه الأربعة تشكل رؤوس متباعدة بالمسافات المتساوية، بينما الرأس الرابع يقع فوق مركز القاعدة بمسافة متساوية. في هذا المقال، نستعرض سؤالاً رياضياً شهيراً: أوجد إحداثيات الرأس الرابع لهرم رباعي منتظم عندما تكون ثلاثة من رؤوسه في النقاط $(0,0,0)$، $(a,a,0)$، و $(0,a,a)$، حيث $a$ عدد صحيح موجب، وجميع الإحداثيات الناتجة أعداد صحيحة. سنستخدم خصائص الهندسة الإقليدية، حساب المتجهات، والمعادلات الرياضية لحل هذه المسألة.", "---", "### ما هو الهرم الرباعي المنتظم؟", "الهرم الرباعي المنتظم هو هرم تكون قاعدته مربعًا، والأطراف الأربع متجانسة من حيث المسافات إلى الرأس المزدوج (القمة). بمعنى آخر، إذا كانت القاعدة مربعًا، فإن الرأس الرابع يجب أن يكون على عمود تناظر مركز المربع، وبمسافة متساوية عن جميع رؤوس المربع.", "---", "### المعطيات في السؤال", "لدينا ثلاث رؤوس معطاة:\n- $A = (0,0,0)$\n- $B = (a,a,0)$\n- $C = (0,a,a)$", "ونريد إيجاد إحداثيات النقطة $D = (x,y,z)$ بحيث:\n- $D$ تشكل هرمًا رباعيًا منتظمًا مع $A$، $B$، $C$\n- $x, y, z \in \mathbb{Z}$ (إحداثيات صحيحة)\n- جميع الأضلاع $AD = BD = CD = AB = BC = CA$", "---", "### الخطوة 1: حساب طول ضلع القاعدة", "أولاً، نحسب المسافة بين أي نقطتين من النقاط المعطاة للتأكد من انتظامية الأضلاع.", "- $AB = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$\n- $AC = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$\n- $BC = \sqrt{(0-a)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = a\sqrt{2}$", "إذاً، طول ضلع المربع هو $a\sqrt{2}$. وبالتالي، كل ضلع في الهرم يجب أن يكون طوله $a\sqrt{2}$.", "---", "### الخطوة 2: موقع الرأس الرابع في هرم منتظم", "في هرم رباعي منتظم، الرأس $D$ يقع على محور التماثل العمودي لمركز المربع $ACBO$ (حيث $O = (0,a,a)$؟ لا — دعنا نتحقق من المركز).", "مركز القاعدة المربعة $ABCD$ (لكن هنا $C$ ليس في الزاوية) — نحسب مركز المربع المعرّف من النقاط $(0,0,0)$، $(a,a,0)$، $(0,a,a)$، و $D=\ ext{الرأس}$ — لكن هذه النقاط الثلاث لا تكفي لتحديد مربع، لأن أبعادها غير منتظمة.", "لكننا نفترض أن $A$، $B$، $C$ هي ثلاث رؤوس متجاورة أو جزئية من قاعدة مربعة، والرأس الرابع $D$ هو القمة.", "لكن هنا التحدي: هل هذه ثلاث نقاط يمكن أن تكون جزءًا من هرم رباعي منتظم إذا كانت إحداثيات $D$ يجب أن تكون أعدادًا صحيحة؟", "---", "### الخطوة 3: استخدام التماثل والهندسة التحليلية", "في الهرم الرباعي المنتظم، القمة $D$ تقع على المحور العمودي لمستوى القاعدة، وعند نقطة متساوية المسافة من جميع الرؤوس القاعدية، وعند مسافة متساوية مع كل منها.", "لكن هنا: النقاط $(0,0,0)$، $(a,a,0)$، $(0,a,a)$ ليست momentarily on a common perpendicular unless carefully aligned.", "لكن، نلاحظ أن هذه النقاط لا تقع في مستوى واحد بشكل واضح، إلانا نحسب مستوىها.", "---", "### الخطوة 4: إيجاد المستوى الممثل للنقاط", "لنفحص إذا كانت النقاط $A(0,0,0)$، $B(a,a,0)$، $C(0,a,a)$ تقع في مستوى يمكن تحليله.", "احسب المتجهات:\n- $\vec{AB} = (a,a,0)$\n- $\vec{AC} = (0,a,a)$", "ميل المستوى: $\vec{n} = \vec{AB} \ imes \vec{AC} = \n\begin{vmatrix}\n\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\na & a & 0 \\n0 & a & a \\n\end{vmatrix}\n= \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a)$\n$= \mathbf{i}(a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(a^2) = (a^2, -a^2, a^2)$", "إذن، متجه العمود هو $(a^2, -a^2, a^2)$، أو نُختصر إلى $(1, -1, 1)$", "معادلة المستوى:\n$1(x - 0) -1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \Rightarrow x - y + z = 0$", "لذا، النقاط الثلاث تقع في المستوى $x - y + z = 0$.", "---", "### الخطوة 5: شرط القمة $D(x,y,z)$", "لدينا أن $D$ تقع فوق مستوى القاعدة بمسافة عمودية تساوي ارتفاع الهرم المنتظم، وأن:\n- $AD = BD = CD = a\sqrt{2}$\n- $x,y,z \in \mathbb{Z}$", "دع $D = (x,y,z)$", "نكتب شروط المسافة:", "1. $ |AD|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 $", "2. $ |BD|^2 = (x - a)^2 + (y - a)^2 + z^2 = 2a^2 $", "3. $ |CD|^2 = x^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = 2a^2 $", "نعوض ونبسط:", " from (2):\n$$\n(x - a)^2 + (y - a)^2 + z^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 + z^2 = 2a^2\n$$\nنضيف معادلة (1): $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$, إذًا:\n$$\n2a^2 - 2ax - 2ay + 2a^2 = 2a^2 \Rightarrow -2ax - 2ay + 2a^2 = 0 \Rightarrow x + y = a \quad \ ext{(أ)}\n$$", " من (3):\n$$\nx^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = x^2 + y^2 - 2ay + a^2 + z^2 - 2az + a^2 = 2a^2\n$$\nاستخدم (1): $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$, فتتحصل على:\n$$\n2a^2 - 2ay - 2az + 2a^2 = 2a^2 \Rightarrow -2ay - 2az + 2a^2 = 0 \Rightarrow y + z = a \quad \ ext{(ب)}\n$$", "إذن:\n- $x + y = a$\n- $y + z = a$", "اطرحهما: $x - z = 0 \Rightarrow x = z$", "ومن (أ): $x + y = a \Rightarrow y = a - x$", "ومن (ب): $z = a - y = a - (a - x) = x$", "إذن: $x = z$, $y = a - x$", "الآن، نعوض في معادلة (1):", "$$\nx^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (a - x)^2 + x^2 = 2x^2 + (a^2 - 2ax + x^2) = 3x^2 - 2ax + a^2 = 2a^2\n$$", "إذًا:\n$$\n3x^2 - 2ax + a^2 = 2a^2 \Rightarrow 3x^2 - 2ax - a^2 = 0\n$$", "حل المعادلة التربيعية في $x$:\n$$\nx = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 + 12a^2}}{6} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 + 12a^2}}{6} = \frac{2a \pm \sqrt{16a^2}}{6} = \frac{2a \pm 4a}{6}\n$$", "إذن:\n- $x = \frac{6a}{6} = a$\n- أو $x = \frac{-2a}{6} = -\frac{a}{3}$", "نبحث عن حلول صحيحة → نأخذ $x = a$", "إذن:\n- $x = a$\n- $y = a - x ="]